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Geometría algebraica
La Geometría algebraica es una rama de las matemáticas que, como sugiere su nombre, combina el Álgebra abstracta, especialmente el Álgebra conmutativa, con la geometría. Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas. Cuando hay más de una variable, aparecen las consideraciones geométricas que son importantes para entender el fenómeno. Podemos decir que la materia en cuestión comienza cuando abandonamos la mera solución de ecuaciones, y el tema de "entender" todas las soluciones se vuelve tan importante como el encontrar alguna solución, lo cual lleva a las "aguas más profundas" del mundo de las matemáticas, tanto conceptual como técnicamente.
En la geometría algebraica clásica, el principal objeto de interés es los conjuntos donde se anula cierta colección de polinomios, lo que quiere decir, el conjunto de todos los puntos que satisfacen simultáneamente una o más ecuaciones polinomiales. Por ejemplo, la esfera de dos dimensiones en el Espacio Euclídeo de tres dimensiones R3 se puede definir como el conjunto de todos los puntos (x, y, z) tales que
Un círculo "inclinado" en R3 puede definirse como el conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen las dos ecuaciones polinomiales siguientes
Comenzamos en primer lugar con un cuerpo k. En geometría algebraica clásica, este cuerpo fue siempre C, los números complejos, pero muchos de los resultados son también ciertos si sólo asumimos que k es algebraicamente cerrado. Definimos
Por tanto, en adelante eliminaremos la k en
Diremos que una función
Diremos que un polinomio se anula en un punto si al evaluarlo en él el resultado es cero. Sea S un conjunto de polinomios en
Dado un conjunto V de
Dos cuestiones que se plantean ahora son: si tenemos un subconjunto V de
Por varias razones no siempre queremos trabajar con todo el ideal correspondiente a un conjunto algebraico V. El Teorema de la Base de Hilbert implica que los ideales en
Un conjunto algebraico se dice irreducible si no puede escribirse como la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños. También se le llama una variedad. Entonces se tiene que un conjunto algebraico es una variedad si y sólo si los polinomios que lo definen generan un ideal primo del anillo de polinomios.
Al igual que las funciones continuas son las aplicaciones naturales en los espacios topológicos y las funciones suaves son las aplicaciones (morfismos) naturales en las variedades diferenciables, existe una clase natural de funciones sobre un conjunto algebraico, llamadas regulares. Una función regular sobre un conjunto algebraico V contenido en
Puede parecer antinaturalmente restrictivo el requerir que una función regular siempre se extienda al espacio ambiente, pero esta es muy similar a la situación que se da en un espacio topológico normal, donde el Teorema de Extensión de Tietze garantiza que una función continua en un subconjunto cerrado siempre puede extenderse al espacio topológico ambiente.
Al igual que las funciones regulares en un espacio afín, las funciones regulares en V forman un anillo, que denotamos como k[V]. A este anillo se le llama el anillo coordenado de V.
Ya que las funciones regulares en V provienen de las funciones regulares en
Usando las funciones regulares desde una variedad afín a
Si V es una variedad contenida en
Esto convierte a la colección de todas las variedades afines en una categoría, cuyos objetos son variedades afines y cuyos morfismos son las aplicaciones regulares. El teorema siguiente caracteriza esta categoría:
Considera la variedad V(y=x2). Si la dibujamos obtenemos una a parábola. Según x crece vemos que la pendiente de la línea que va desde el origen a el punto (x,x2) se hace más y más grande. Según x decrece, la pendiente de la misma se hace más y más pequeña.
Comparemos esto con la variedad V(y=x3). Esta es una ecuación cúbica. Según x crece, la pendiente de la línea desde el origen al punto (x,x3) se hace mayor, como antes. Pero al contrario que en la anterior, según x decrece, la pendiente de la misma línea se hace mayor. Así que el comportamiento "al infinito" de V(y=x3) es diferente del de V(y=x2). Sin embargo es difícil dar sentido al concepto de "al infinito", si nos restringimos al espacio afín.
El remedio a esto es trabajar en el Espacio Proyectivo, que tiene propiedades análogas a aquellas de un Espacio de Hausdorff compacto . Entre otras cosas, nos permite hacer precisa la noción de "al infinito" mediante la inclusión de puntos extra. El comportamiento de una variedad en aquellos puntos extra nos da más información sobre ella. Y se ve qie V(y=x3) tiene una singularidad en uno de aquellos puntos extra, pero V(y=x2) es suave.
Los primeros geómetras algebraicos se dieron cuenta rápidamente de que el espacio proyectivo tiene propiedades mucho mejores que el afín ordinario. Por ejemplo, el Teorema de Bézout sobre el número de puntos de intersección entre dos variedades puede ser mostrado en su forma más afilada sólo en el espacio proyectico. Por esta razón, este espacio tiene un papel fundamental en geometría algebraica.
El estudio moderno de la geometría algebraica redefine los objetos básicos de su estudio. Las variedades quedan subsumidas en el concepto de esquema, de Alexander Grothendieck. Este viene de la observación de que si las k-álgebras reducidas finitamente generadas son objetos geométricos, entonces quizás cualquier anillo conmutativo pudiera serlo. Como se comprueba así, este es un muy fructífero nuevo punto de vista y es la base para toda la investigación moderna en geometría algebraica.
Una clase importante de variedades son las variedades abelianas que son las variedades cuyos puntos forman un grupo.
Los ejemplos prototípicos son las curvas elípticas que fueron un instrumento fundamental para la prueba del Último teorema de Fermat y son también usadas en criptografía con curvas elípticas.
Mientras que mucha de la geometría algebraica trata de proposiciones abstractas y generales sobre variedades, los métodos para la computación efectiva con polinomios concretos dados han sido también desarrollados. La técnica más importante es la de bases de Gröbner y es empleada en todos los sistemas de Álgebra computacional.
La geometría algebraica fue desarrollada enormemente por los geómetras italianos en los principios del siglo XX. Enriques clasificó las superficies algebraicas salvo isomorfismo biracional. El estilo de este grupo de matemáticos fue muy intuitivo y no tenía el rigor moderno.
Sobre los años 1930 y 1940, Oscar Zariski, André Weil y otros se dieron cuenta de que esta disciplina necesitaba refundarse mediante el álgebra conmutativa. El álgebra conmutativa (como el estudio de los anillos conmutativos y sus ideales) había sido y fue desarrollada por David Hilbert, Max Noether, Emanuel Lasker, Emmy Noether, Wolfgang Krull, y otros. Mientras, no existían fundamentos standard para la geometría algebraica.
En los años 1950 y 1960, Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck rehacen la fundamentación haciendo uso de la Teoría de haces. Más tarde, sobre 1960, la idea de los esquemas fue hallada, conjuntamente al refinado aparato del álgebra homológica. Tras una década de rápido desarrollo el campo se estabiliza en los años 1970, y surgen aplicaciones en Teoría de números y en las más clásicas cuestiones geométricas de variedades algebraicas, singularidades y módulos.
Un libro clásico, con el lenguaje de esquemas:
Ceros de polinomios simultáneos
(Entiéndase x elevado a 2... y elevado a 2...etc, perdonen las molestias, aquí y en otras partes del texto ocurre lo mismo, que la edición de fórmulas -que es la de la inglesa- no se hace entender demasiado, parece alternar entre dos métodos mientras que en la mayoría de fórmulas parece ser preferible usar latex.)Variedades afines
, llamado n-espacio afín sobre k, como kn. Esto puede parecer una notación inútil, pero su propósito es olvidar la estructura vectorial que porta kn. Abstractamente hablando, es, de momento, sólo una colección de puntos. y escribiremos 
.
es regular si puede ser escrita mediante un polinomio, esto es, si existe un polinomio p sobre k [x1,...,xn] tal que para cada punto (t1,...,tn) de , f(t1,...,tn)=p(t1,...,tn). Las funciones regulares sobre el n-espacio afín son de esta manera lo mismo que los polinomios sobre k en n variables. Escribiremos las funciones regulares sobre como 
.. El conjunto anulador de S (o locus anulador) es el conjunto V(S) de todos los puntos en 
donde cada polinomio de S se anule. En otras palabras, V(S)={(t1,...,tn) | para todo p en S, p(t1,...,tn)=0}. Un subconjunto de que es un V(S) para algún S se llama conjunto algebraico. La V se refiere a la inicial de variedad, que es un tipo específico de conjunto algebraico que definiremos más tarde. del que sepamos que es una variedad, sería deseable determinar el conjunto de polinomios que lo genera, aunque haremos una definición para un caso más general: si V es cualquier subconjunto de (no necesariamente una variedad), definimos I(V) como el conjunto de todos los polinomios cuyo conjunto anulador contiene a V. La I esta vez es por Ideal: si tengo dos polinomios f y g y los dos se anulan en V, entonces f+g también se anula en V, y si h es cualquier polinomio, entonces hf se anula en V, así que I(V) es siempre un ideal de ., ¿cuándo es V=V(I(V))? Y si tenemos un conjunto de polinomios, S, ¿cuándo es S=I(V(S))? La respuesta a la primera cuestión la provee la introducción de la Topología de Zariski, una topología en que refleja directamente la estructura algebraica de . Entonces V=V(I(V)) si y sólo si V es un conjunto Zariski-cerrado. La respuesta a la segunda cuestión viende dada por la Hilbert Nullstellensatz. En una de sus formas, dice que S=I(V(S)) es radical primo del ideal generado por S. son siempre finitamente generados.Funciones regulares
está definida como la restricción de una función regular en , en el sentido definido arriba., debería haber una relación entre sus anillos coordenados.
Específicamente, cogiendo una función de k[V] lo estamos haciendo en , y dijimos que era la misma que otra función si daban los mismos valores cuando las evaluávamos en V. Esto es lo mismo que decir que su diferencia es cero en V. De esto podemos ver que k[V] es el cociente 
.La categoría de las variedades afines
, podemos definir las funciones regulares de una variedad afín a otra. Primero definiremos una función regular de una variedad a un espacio afín: sea V una variedad contenida en . Elige m funciones regulares en V, y llámalas f1,...,fm. Definimos una función regular f de V a 
mediante f(t1,...,tn)=(f1,...,fm). En otras palabras, cada fi determina una coordenada del rango de f., decimos que f es una función regular de V a V' si el rango de f está contenido en V. Espacio proyectivo
El punto de vista moderno
Notas e historia
Referencias externas
Textos modernos sin el lenguaje de esquemas:
Libros y referencias para los esquemas:
En internet:
