Popular Keywords: old books, old book, cook books, poetry, find books, travel books, book search, bargain books, cheap books, inexpensive books, book compare, book comparison, comics, books and collectibles book, books, new books, new book, used books, used book, rare books, rare book, second hand books, second hand book, out of print books, out of print book, textbooks, used textbooks, cheap textbooks, college textbooks

Teorio De Kategorioj

Matematiko -> Fakoj -> Teorio de Kategorioj

La Teorio de Kategorioj estas moderna koncepto kiu aperis en la jaroj 1940-aj en la paperoj de Samuel Eilenberg kaj Saunders Mac Lane. Plej simple esprimite, ĝi estas ĝenerala teorio de strukturoj kaj sistemoj de strukturoj. Fakte, oni povas diri ke la teorio de kategorioj ne estas aparta matematika fako, sed ilo kiu utilas en diversaj matematikaj fakoj, aŭ lingvo per kiu oni povas diskuti strukturojn kiuj aperas en diversaj fakoj.

La bazaj nocioj de la teorio estas simplaj. Kategorio konsistas el du specoj: objektoj kaj sagoj inter tiuj objektoj. Grave, kategorio ankaŭ bezonas surhavi tri operaciojn: fontoperacio mallongita al fon, kofontoperacio (aŭ celoperacio), mallongigita al kof, kaj komponoperacio, skribite °. fon estas funkcio de la sagoj el kategorio al la objektoj el la sama kategorio, kiu donas la komencon de ĉiu sago. Simile, kof donas la finon de ĉiu sago. La komponoperacio estas duonfunkcio (tio estas, funkcio kiu eble ne havas valorojn ĉe tute sia difinkorpo) de paroj da sagoj al sagoj. Ĝi donas la signifon (laŭekziste) de sego sekve alia sego. Existas ne signifon de tia kunmetaĵo se la kofonto de la unua sego ne egalas la fonto de la dua. (Oni diras ke, la sagojn 'ne linas') Ĉe ĉi tio kazo, la komponoperacio devas havi nenio valoro. Kategorio devas ankau havis la jenajn ecojn:

Ĉiu objecto C havas identsagon (ofte skribita 1_C) tia, ke 1_C ° f = f = f ° 1_C ĉe ĉiuj segoj f.
La komponoperacio estas asocieca: (f ° g) ° h = f ° (g ° h) ĉe sagoj f, g, h.
fon(f ° g) = g kaj kof(f ° g) = f. Klare ĝi pravas se oni komprenas ke, la cela signifo ke f ° g estas 'f poste de g'.

Por ilustri, vi povas imagi la objektojn esti ĉiuj aroj kaj la sagojn esti ĉiuj funkcioj inter la aroj. La komponoperacio en ĉi tie afero estas ordinara funkcia komponado. Ĝi estas konkreta kategorio ĉar la objectoj estas iuj aroj (eble kun aldonita strukturo), la segoj estas iuj funkcioj, kaj la komponoperacio estas nur funkcia komponado. Aliaj ekzemploj de konkretaj kategorioj estas la kategorio de grupoj kaj homomorfioj, la kategorio de topologioj kaj kontinuaj funckioj, k.s. Ankaŭ ekzistas pluraj kategorioj kiu ne estas konkreta; ĉi tiuj abstrakta kategorio ofte okazas el konstruadoj el aliaj kategorioj. (ekz. konstruadoj de mala kategorio, tranĉa kategorio, kategorioj de monadalgebroj kaj koalgebroj)

Kiam oni esprimas strukturojn en la lingvo de kategorioj, oni gajnas ne nur la eblecon studi la ecojn de la strukturoj, sed ankaŭ la eblecon studi la tipojn de strukturoj. Por tio estas la koncepto funkturo. Funkturo simple estas rilato inter du kategorioj, denove plenumante kelkajn evidentajn ecojn pri sia efiko al la objektoj kaj sagoj en la fonta kategorio.

Aldone al la baza kadro de kategorioj kaj funkturoj, konstruiĝis tuta teorio kun aliaj konceptoj kiel naturaj transformigoj, komplementaj funkturoj, kaj limoj. Tiuj strukturoj abundas en ĉiuj fakoj de matematiko, kelkfoje evidente kaj kelkfoje kaŝite. Estas precize la malkovrado de kategoriaj strukturoj kiu estas la plej grava utileco de la teorio. Kiam oni trovas kategorion en iu matematika fako, subite ĉiuj rezultoj pri kategorioj validas pri tiuj strukturoj, do jen multe da novaj rezultoj sen multe da penado. Kaj kompreneble tiu malkovrado donas pli profundan komprenon de la strukturoj.

Al multaj, la teorio de kategorioj estas alternativo al la teorio de aroj.

La teorio da kategorioj eĉ utilas en la matematika studado de komputillingvoj (ekzemple, en la studado de tip-sistemoj).